마름모 넓이 구하는 공식: 밑변-높이, 대각선으로 한 번에 정리

마름모 넓이 구하는 공식: 밑변-높이, 대각선으로 한 번에 정리

마름모는 “네 변의 길이가 모두 같은 사각형”이라는 단순한 정의 때문에 쉬워 보이지만, 막상 넓이를 구하려고 하면 어떤 값을 알고 있느냐에 따라 접근이 갈립니다. 밑변과 높이가 주어지면 직사각형 넓이처럼 곱하면 끝나지만, 대부분의 문제는 대각선 길이, 혹은 한 변과 각도처럼 우회 정보로 넓이를 요구합니다. 결국 핵심은 “마름모 넓이는 결국 밑변×높이”라는 본질을 유지하면서, 높이를 직접 모르더라도 대각선이나 각도를 이용해 높이(또는 넓이 그 자체)를 표현하는 것입니다.

마름모 넓이 구하는 공식

이 글에서는 가장 많이 쓰이는 두 가지 마름모 넓이 구하는 공식(밑변-높이, 대각선)을 중심으로, 계산 실수 포인트와 단위 처리, 문제 풀이 루틴까지 한 번에 정리해 드리겠습니다.

마름모 넓이 구하는 공식

마름모의 넓이를 구하는 공식은 여러 개처럼 보이지만, 사실 서로 변환 가능한 형태입니다. 밑변과 높이로 구하는 마름모 넓이 구하는 공식은 모든 평행사변형에서 공통으로 성립하고, 마름모 역시 평행사변형의 한 종류이므로 그대로 적용됩니다.

마름모 넓이 구하는 공식

대각선으로 구하는 식은 “마름모의 대각선이 서로를 수직으로 이등분한다”는 성질을 이용해, 넓이를 직각삼각형 4개의 합으로 쪼개서 얻습니다. 문제에서 주어진 정보가 무엇인지에 따라 다음 중 가장 빠른 길을 선택하면 됩니다.

아래는 현장에서 바로 쓰는 ‘넓이 공식 선택 체크리스트’입니다.

• 밑변 $b$와 높이 $h$가 주어짐: $$A=b\times h$$
• 대각선 길이 $d_1, d_2$가 주어짐: $$A=\frac{1}{2}d_1d_2$$
• 한 변 길이 $s$와 꼭짓각(내각) $\theta$가 주어짐(추가 응용): $$A=s^2\sin\theta$$
• 둘레만 주어짐: 둘레만으로는 넓이 결정 불가(추가 정보 필요)
• 한 변과 대각선 하나가 주어짐: 피타고라스/삼각형 분해로 다른 대각선 또는 높이를 먼저 구한 뒤 위 공식 적용

여기서 가장 중요한 운영 원칙은 “가능하면 계산이 가장 단순한 공식부터”입니다. 대각선이 다 나오면 $\frac{1}{2}d_1d_2$가 압도적으로 빠르고, 밑변-높이가 나오면 $b\times h$가 실수 여지가 가장 적습니다.

밑변과 높이가 주어졌을 때 마름모 넓이 공식

밑변과 높이로 넓이를 구하는 방식은 마름모를 ‘기울어진 직사각형(평행사변형)’으로 보는 관점입니다. 밑변을 $b$, 그 밑변에 수직인 높이를 $h$라고 하면, 마름모의 넓이는 다음과 같습니다.

$$A=b\times h$$

여기서 주의해야 할 포인트는 높이 $h$가 “변의 길이”가 아니라 “밑변에 수직인 거리”라는 점입니다. 마름모는 네 변이 모두 같기 때문에 문제에서 ‘한 변의 길이’ $s$를 제시하는 경우가 많지만, $s$는 보통 높이와 다릅니다(특히 마름모가 눕거나 기울어져 있을수록 높이는 $s$보다 작아집니다). 따라서 $b\times h$를 쓰려면, 반드시 “밑변에 내린 수선의 길이”가 주어져야 합니다.

실전에서 자주 나오는 형태를 기준으로 계산 흐름을 정리하면 다음과 같습니다. 먼저 문장으로 조건을 읽고, 밑변으로 삼을 변을 정한 뒤, 그 변에 수직인 높이가 명시되어 있는지 확인합니다. 높이가 명시되어 있다면 그대로 곱하면 끝입니다.

아래는 밑변-높이 유형에서 빈번한 실수와 방지 포인트입니다.

• “높이”를 “대각선”으로 착각: 대각선은 수직일 수 있으나 ‘밑변에 수직’이라는 보장이 없고, 무엇보다 대각선은 보통 밑변과 다른 선분입니다.
• “한 변 길이 $s$”를 높이로 착각: 마름모가 정사각형이 아닌 이상 $h\neq s$인 경우가 대부분입니다.
• 단위 혼용: $b$가 cm, $h$가 m이면 반드시 단위 통일 후 계산해야 넓이 단위가 맞게 나옵니다.

계산 예시를 하나 만들어 보겠습니다. 밑변 $b=15\text{ cm}$, 높이 $h=11\text{ cm}$라면 넓이는 $$A=15\times 11=165\text{ cm}^2$$ 입니다. 단위는 길이 단위의 제곱으로 나가므로, cm로 곱했으면 $\text{cm}^2$, m로 곱했으면 $\text{m}^2$가 됩니다. 이 단위 표기는 시험/과제에서 감점이 자주 발생하는 포인트라서 습관적으로 붙여 주시는 게 안전합니다.

또 하나의 실전 팁은 “밑변은 꼭 ‘아래쪽 변’일 필요가 없다”는 것입니다. 평행사변형 넓이는 어떤 변을 밑변으로 잡아도 성립하지만, 그때의 높이는 반드시 그 밑변에 수직이어야 합니다. 즉, 문제에 ‘높이’가 주어져 있다면 그 높이가 어느 변에 수직인지 문장이나 그림에서 확인하고, 그 변을 밑변으로 잡아야 $b\times h$가 바로 적용됩니다.

대각선들의 길이가 주어졌을 때 마름모 넓이 공식

대각선으로 넓이를 구하는 방식은 마름모에서 가장 자주 등장하는 대표 공식을 제공합니다. 마름모의 두 대각선을 $d_1, d_2$라고 하면 넓이는 다음과 같습니다.

$$A=\frac{1}{2}d_1d_2$$

이 공식이 성립하는 이유는 마름모의 대각선이 (1) 서로 수직이고 (2) 서로를 이등분한다는 성질 때문입니다.

두 대각선의 교점을 $O$라고 두면, 마름모 내부는 직각삼각형 4개로 분할됩니다. 각 직각삼각형의 두 직각변 길이는 각각 $\frac{d_1}{2}$, $\frac{d_2}{2}$가 되므로, 삼각형 하나의 넓이는 $$\frac{1}{2}\times \frac{d_1}{2}\times \frac{d_2}{2}=\frac{d_1d_2}{8}$$ 입니다.

이런 삼각형이 4개이므로 전체 넓이는 $$4\times \frac{d_1d_2}{8}=\frac{d_1d_2}{2}$$가 됩니다. 즉, “절반 곱” 공식은 단순 암기가 아니라, 수직 이등분 성질에서 자연스럽게 유도되는 결과입니다.

이 방식의 장점은 높이를 따로 구할 필요가 없다는 점입니다. 대각선 두 개만 정확히 알면 즉시 넓이가 결정됩니다. 그래서 도형 문제가 복잡해 보일수록, 중간 목표를 “대각선 2개 길이 확보”로 잡으면 풀이가 단축되는 경우가 많습니다.

대각선 공식 유형에서 특히 많이 틀리는 부분은 ‘대각선이 아닌 값’을 대각선으로 오해하는 경우입니다. 예를 들어 “교점에서 꼭짓점까지의 거리”가 주어지는 문제는 사실 $\frac{d_1}{2}$ 또는 $\frac{d_2}{2}$를 주는 것이므로, 전체 대각선 길이는 2배로 복원해야 합니다. 반대로 “대각선의 반”을 전체로 착각하면 넓이가 4배 차이로 틀어집니다(곱이므로 2배 오차가 곱에서 4배로 커짐).

아래는 대각선 조건을 빠르게 판독하는 체크 포인트입니다.

• “대각선의 길이”라고 명시: 그대로 $d_1, d_2$에 대입
• “교점에서 꼭짓점까지” 또는 “반대각선의 절반”이라고 표현: 해당 값은 $\frac{d}{2}$이므로 $d=2\times(\text{주어진 값})$로 복원
• “대각선이 서로 수직”은 마름모에서 기본 성질이지만, 문제에서 ‘마름모가 아니라 연꼴/사다리꼴’일 수도 있으니 도형 정의를 먼저 확인

간단한 계산 예시로, $d_1=9\text{ in}$, $d_2=8\text{ in}$이면 $$A=\frac{1}{2}\times 9\times 8=36\text{ in}^2$$ 입니다. 단위는 역시 제곱 단위로 마감됩니다.

조금 더 실전형 예시를 들어보겠습니다. “대각선의 반이 각각 3 cm, 5 cm”라고 주어졌다면 전체 대각선은 $d_1=6\text{ cm}$, $d_2=10\text{ cm}$이고 넓이는 $$A=\frac{1}{2}\times 6\times 10=30\text{ cm}^2$$ 입니다. 여기서 자주 발생하는 실수는 “반이 3과 5이니까 그냥 곱해서 15”라고 가는 패턴인데, 반드시 $\frac{1}{2}d_1d_2$ 구조를 유지해야 합니다.

추가로, 대각선 공식이 잘 먹히는 이유를 ‘밑변-높이’와 연결해 보면 이해가 더 탄탄해집니다. 마름모는 평행사변형이므로 넓이는 $b\times h$인데, 대각선이 수직이라면 특정 삼각형에서 높이를 대각선 성분으로 표현할 수 있고, 그 결과가 결국 $\frac{1}{2}d_1d_2$로 정리됩니다. 즉 두 공식은 서로 다른 세계의 공식이 아니라, 같은 넓이를 서로 다른 측정값으로 표현한 것에 불과합니다.

결론

마름모 넓이는 ‘기본은 밑변×높이’라는 틀을 놓치지 않는 것이 핵심이고, 시험이나 실전 문제에서는 대각선 공식을 얼마나 안정적으로 적용하느냐가 속도를 좌우합니다. 밑변과 높이가 명확히 주어지면 $$A=b\times h$$로 가장 단단하게 처리하고, 대각선 두 개가 주어지면 $$A=\frac{1}{2}d_1d_2$$로 계산 단계를 최소화하시면 됩니다.

특히 “대각선의 절반”이 주어지는 유형에서는 반드시 2배 복원 과정을 체크하고, 단위는 계산 시작 전에 통일해서 끝에서 $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$처럼 제곱 단위를 정확히 붙이는 습관을 권장드립니다. 마지막으로, 공식 자체보다 더 중요한 것은 ‘어떤 값이 주어졌는지’를 정확히 식별하는 운영입니다. 조건 판독-공식 선택-단위 통일-대입 계산-제곱 단위 마감까지 이 순서를 루틴으로 고정하면, 마름모 넓이 문제는 난이도가 올라가도 흔들리지 않습니다.